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關(guān)于捕魚游戲的概率題 |
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作者: 佚名 日期:2018-05-28 22:28:30 來源: 本站整理
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- 題目
- 關(guān)于捕魚游戲的概率題
假設(shè)有一捕魚游戲,炮彈分五級(jí).一級(jí)炮消耗一元,捕獲魚的概率為0.1；二級(jí)炮消耗兩元,捕獲魚的概率為0.2；三級(jí)炮消耗三元,捕獲魚的概率為0.3；四級(jí)炮消耗四元,捕獲魚的概率為0.4；五級(jí)炮消耗五元,捕獲魚的概率為0.5.
1.現(xiàn)在要捕一條魚：
（1） 假設(shè)共有10元,那么不同組合所取得的捕獲概率是否相同?若相同請(qǐng)給出證明；若不同則求出最佳搭配.
（2） 若這條魚的價(jià)值為10元,即捕獲后可獲得10元,那么怎樣取得最大收益?（現(xiàn)有資金不限）
（3） 如果（1）問計(jì)算得到不同組合間概率不同,那么若改變各等級(jí)炮捕獲魚的概率是否可能令各組合所取得的概率相同?若可行請(qǐng)給出證明,若不可行請(qǐng)闡明原因.（如（1）問計(jì)算所得不同組合捕獲概率相同,此問可不作答.）
（4） 設(shè)共有n元,請(qǐng)寫出可取得最大捕獲概率的捕魚方式并給出證明與最大概率.
（5） 若這條魚價(jià)值n元,且資金無上限,那么如何取得最大收益?
- 優(yōu)質(zhì)解答
- （1）不同組合的概率不同.
先考慮一級(jí)炮.未捕獲的概率為0.9.2元一級(jí)炮未捕獲概率為0.9*0.9=0.81,大于2元的二級(jí)跑未捕獲概率0.8.則花2元用兩次一級(jí)炮不如花2元用一次二級(jí)炮.花3元一級(jí)炮二級(jí)炮各一次未捕獲概率為0.9*0.8=0.72大于3元的三級(jí)炮未捕獲概率0.7.則花3元的最佳選擇為用一次三級(jí)炮.花4元一級(jí)炮三級(jí)炮各一次未捕獲概率為0.9*0.7=0.63大于3元的四級(jí)炮未捕獲概率0.6.則花4元的最佳選擇為用一次四級(jí)炮.花5元一級(jí)炮四級(jí)炮各一次未捕獲概率為0.9*0.6=0.54大于5元的五級(jí)炮未捕獲概率0.5.則花5元的最佳選擇為用一次五級(jí)炮.如此,可以選擇二、三、四、五級(jí)炮時(shí)一定不選擇一級(jí)炮.
在不考慮一級(jí)炮的情況下再考慮二級(jí)炮,類似上面可以得到結(jié)論：可以選擇三、四、五級(jí)炮時(shí)一定不選擇二級(jí)炮.
同理,可以選擇四、五級(jí)炮時(shí)一定不選擇三級(jí)炮；可以選擇五級(jí)炮時(shí)一定不選擇四級(jí)炮.
則有10元應(yīng)選擇兩次五級(jí)炮,如此捕獲概率為1-0.5*0.5=0.75
（2）在這條魚價(jià)值為10元的情況下,
投資一級(jí)炮的期望收益為0.9*（-1）+0.1*（10-1）=0
投資二級(jí)炮的期望收益為0.8*（-2）+0.2*（10-2）=0
投資三級(jí)炮的期望收益為0.7*（-3）+0.3*（10-3）=0
投資四級(jí)炮的期望收益為0.6*（-4）+0.4*（10-4）=0
投資五級(jí)炮的期望收益為0.5*（-5）+0.5*（10-5）=0
所以無論如何選擇,期望收益都為0.且不論如何組合,期望收益不會(huì)改變.但是不同組合的方差不一樣.可以計(jì)算得到在投資相同的前提下,選擇捕獲概率較小的炮次數(shù)越多,方差越大.所以,投資的風(fēng)險(xiǎn)越大,但可能的實(shí)際收益也越大.每個(gè)人可以根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行抉擇.
（3）設(shè)一二三四五級(jí)炮的未捕獲概率分別為p1,p2,p3,p4,p5,若要各組合所取得的概率相同,則需要滿足：
p1^2=p2, p1^3=p3, p1^4=p4, p1^5=p5
例如,一級(jí)炮的未捕獲概率為0.9,則二三四五級(jí)炮的未捕獲概率須分別改變?yōu)?.81, 0.729, 0.6561, 0.59049,如此則可.
證明：設(shè)使用一二三四五級(jí)炮的次數(shù)分別為n1,n2,n3,n4,n5
設(shè)投資資金為N=n1+2*n2+3*n3+4*n4+5*n5（n1,n2,n3,n4,n5為自然數(shù)）
則未捕獲概率為P=p1^n1*p2^n2*p3^n3*p4^n4*p5^n5
=p1^n1*p1^(2*n2)*p1^(3*n3)*p1^(4*n4)*p1^(5*n5)
=p1^(n1+2*n2+3*n3+4*n4+5*n5)=p1^N
則未捕獲概率只與投資總量有關(guān),與各等級(jí)炮的組合無關(guān).投資資金一定時(shí),各組合概率相同
（4）
由（1）可知,當(dāng)1
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